Question

8．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=4，E是棱CD上的一点．
（1）求证：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）求证：B₁E⊥AD₁；
（3）若E是棱CD的中点，在棱AA₁上是否存在点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）要证AD₁⊥平面A₁B₁D，只需证明A₁B₁⊥AD₁，AD₁⊥A₁D即可．
（2）要证B₁E⊥AD₁，只需证明AD₁⊥面A₁B₁CD即可说明结果．
（3）点P是棱AA₁的中点，使得DP∥平面B₁AE，通过在AB₁上取中点M，连接PM₁ME．证明PM∥A₁B₁，且PM=$\frac{1}{2}$A₁B₁，然后说明四边形PMED是平行四边形，然后证明DP∥平面B₁AE．

解答 证明：（1）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因为A₁B₁⊥面A₁D₁DA，
所以A₁B₁⊥AD₁．  …（2分）
在矩形A₁D₁DA中，因为AA₁=AD=2，
所以AD₁⊥A₁D．…（4分）
所以AD₁⊥面A₁B₁D．…（5分）
（2）因为E∈CD，所以B₁E?面A₁B₁CD，
由（1）可知，AD₁⊥面A₁B₁CD，…（7分）
所以B₁E⊥AD₁． …（8分）
（3）当点P是棱AA₁的中点时，有DP∥平面B₁AE．
  …（9分）
理由如下：
在AB₁上取中点M，连接PM₁ME．
因为P是棱AA₁的中点，M是AB₁的中点，
所以PM∥A₁B₁，且PM=$\frac{1}{2}$A₁B₁．…（10分）
又DE∥A₁B₁，且DE=$\frac{1}{2}$A₁B₁．
所以PM∥DE，且M=DE，
所以四边形PMED是平行四边形，
所以DP∥ME．…（11分）
又DP?面B₁AE，ME?面B₁AE，
所以DP∥平面B₁AE．此时，AP=$\frac{1}{2}$A₁A=2． …（13分）

点评 本题考查线面垂直、线线垂直的证明，考查满足线面平行的点的位置的确定与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．