Question

9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{3}$，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理结合两角和的正弦函数化简已知条件，然后求角C的值；
（Ⅱ）利用余弦定理以及基本不等式求出a+b的范围，然后求解即可．

解答 解：（Ⅰ）2cosC（acosB+bcosA）=c
由正弦定理得：2cosC（sinA•cosB+sinB•cosA）=sinC…（2分）
2cosC•sin（A+B）=sinC
∵A+B+C=π，A、B、C∈（0，π）
∴sin（A+B）=sinC＞0
∴2cosC=1，$cosC=\frac{1}{2}$…（4分）
∵C∈（0，π）
∴$C=\frac{π}{3}$                                        …（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cosC3=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab…．（8分）$≥{（a+b）^2}-3\frac{{{{（{a+b}）}^2}}}{4}=\frac{{{{（{a+b}）}^2}}}{4}$
则$a+b≤2\sqrt{3}$，…．（10分）
又$a+b＞c=\sqrt{3}$，$\sqrt{3}＜a+b≤2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}＜a+b+c≤3\sqrt{3}$
周长的取值范围为$（2\sqrt{3}，3\sqrt{3}\left.{\;}]$…．（12分）

点评 本题考查余弦定理以及正弦定理，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．