题目内容
已知椭圆W中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=
，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为1．
（1）求椭圆W的标准方程；
（2）椭圆上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，
，求3x1-4y1的取值范围．
（3）设椭圆W的左右顶点分别为A、B，点S是椭圆W上位于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线l：x=
分别交于M、N两点，求线段MN的长度的最小值．
| ||
| 2 |
（1）求椭圆W的标准方程；
（2）椭圆上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，
|
（3）设椭圆W的左右顶点分别为A、B，点S是椭圆W上位于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线l：x=
| 10 |
| 3 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）依题意知，e=
，椭圆的通经为1，由此可求出椭圆C的方程．
（2）点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，
，由题设条件能推出3x1-4y1=-5x0．再由点P（x0，y0）在椭圆W：
+y2=1上，能够铁推出3x1-4y1的取值范围．
（3）设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（
，
k）．由题设条件可以求出N（
，-
），所以|MN|=|
k+
|，再由均值不等式进行求解．
| ||
| 2 |
（2）点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，
|
| x2 |
| 4 |
（3）设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（
| 10 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
| 1 |
| 3k |
| 16 |
| 3 |
| 1 |
| 3k |
解答：
解：（1）椭圆W中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=
，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为1．
∴
=
，并且
=1，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=
，
∴椭圆W的标准方程：
+y2=1
（2）∵点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，
，
∴
，解得：x1=
，y1=
．
∴3x1-4y1=-5x0．
∵点P（x0，y0）在椭圆C：
+y2=1上，
∴-2≤x0≤2，则-10≤-5x0≤10．
∴3x1-4y1的取值范围为[-10，10]．
（3）直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），
从而M（
，
k）．
由
得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0．
设S（x1，y1），则（-2）•x1=
得x1=
，从而y1=
．
即S（
，
），又B（2，0）
由
得
，∴N（
，-
），
故|MN|=|
+
|，
又k＞0，∴|MN|=
k+
≥2
=
．当且仅当
=
，即k=
时等号成立
∴k=
时，线段MN的长度取最小值
．
| ||
| 2 |
∴
| c |
| a |
| ||
| 2 |
| 2b2 |
| a |
| 3 |
∴椭圆W的标准方程：
| x2 |
| 4 |
（2）∵点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，
|
∴
|
| 4y0-3x0 |
| 5 |
| 3y0+4x0 |
| 5 |
∴3x1-4y1=-5x0．
∵点P（x0，y0）在椭圆C：
| x2 |
| 4 |
∴-2≤x0≤2，则-10≤-5x0≤10．
∴3x1-4y1的取值范围为[-10，10]．
（3）直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），
从而M（
| 10 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
由
|
设S（x1，y1），则（-2）•x1=
| 16k2-4 |
| 1+4k2 |
| 2-8k2 |
| 1+4k2 |
| 4k |
| 1+4k2 |
即S（
| 2-8k2 |
| 1+4k2 |
| 4k |
| 1+4k2 |
由
|
|
| 10 |
| 3 |
| 1 |
| 3k |
故|MN|=|
| 16k |
| 3 |
| 1 |
| 3k |
又k＞0，∴|MN|=
| 16 |
| 3 |
| 1 |
| 3k |
|
| 8 |
| 3 |
| 16k |
| 3 |
| 1 |
| 3k |
| 1 |
| 4 |
∴k=
| 1 |
| 4 |
| 8 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆的基本性质及其应用，考查椭圆与直线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．
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