Question

17．已知定点A（2，0），圆x²+y²=1上有一个动点Q，∠AOQ的角平分线交AQ于点P，求动点P的轨迹．

Answer 1

分析 设点P的坐标为（x，y），点Q的坐标为（x₀，y₀），由三角形内角平分线定理写出方程组，解出x₀和y₀，代入已知圆的方程即可．

解答 解：在△AOQ中，
∵OP是∠AOQ的平分线
∴$\frac{|AP|}{|QP|}=\frac{|OA|}{|OQ|}=2$，
设P点坐标为（x，y）；Q点坐标为（x₀，y₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2+2{x}_{0}}{1+2}}\\{y=\frac{0+2{y}_{0}}{1+2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3x-2}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}y}\end{array}\right.$，
∵Q（x₀，y₀）在圆x²+y²=1上运动，
∴x₀²+y₀²=1
即$（\frac{3x-2}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}y）^{2}=1$，
∴$（x-\frac{2}{3}）^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{9}$．
∴动点P的轨迹为$（x-\frac{2}{3}）^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{9}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，训练了代入法求曲线的轨迹方程，运用此法注意将要求的动点坐标设为（x，y），最后求得的x与y的关系式即为所求，是中档题．