Question

7．讨论函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$（a＞0）的单调性，并作出当a=1时y=f（x）的图象．

Answer 1

分析 根据函数的单调性的定义即可求出单调区间以及画出函数的图象即可．

解答 解：设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{a}{{x}_{1}}$-x₂+$\frac{a}{{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+a}{{x}_{1}{x}_{2}}$
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增；
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{a}{{x}_{1}}$-x₂+$\frac{a}{{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+a}{{x}_{1}{x}_{2}}$
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（-∞，0），或（0，+∞）上为增函数，
当a=1时y=f（x）=x-$\frac{1}{x}$图象如图所示：

点评 本题考查了函数单调性的定义以及分类讨论的思想，属于中档题．