Question

8．如图，在半径为9的⊙O中，弦PQ∥直径AB，且劣弧PQ=2π，
（1）求∠PQO的大小．
（2）求sin（∠POQ+∠ABP）的值．

Answer 1

分析 （1）利用弧长公式可求∠POQ，利用等腰三角形的性质即可求得∠PQO的值；
（2）由（1）可求∠QPO的值，利用平行线的性质可求∠AOP=∠QPO=$\frac{7π}{18}$，进而根据∠AOP=2∠ABP，可求∠ABP的值，利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式即可计算求值得解．

解答 解：（1）∵劣弧PQ=2π，半径为9，
∴由弧长公式可得：∠POQ=$\frac{2π}{9}$．
∵PO=OQ=R，
∴∠PQO=$\frac{π-∠POQ}{2}$=$\frac{7π}{18}$．
（2）由（1）可得：∠QPO=$\frac{7π}{18}$．
∵弦PQ∥直径AB，
∴∠AOP=∠QPO=$\frac{7π}{18}$．
又∵∠AOP=2∠ABP，
∴∠ABP=$\frac{7π}{36}$．
∴sin（∠POQ+∠ABP）=sin（$\frac{2π}{9}$+$\frac{7π}{36}$）
=sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了弧长公式，等腰三角形的性质，平行线的性质，特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．