已知点F是抛物线x2=4y的焦点.定点M(2.3).点P是该抛物线上的动点.则△PMF周长的最小值为4+2$\sqrt{2}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知点F是抛物线x²=4y的焦点，定点M（2，3），点P是该抛物线上的动点（点P不在直线MF上），则△PMF周长的最小值为4+2$\sqrt{2}$．

分析要求△PMF周长的最小值，只要求|MP|+|PF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，即求|MP|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，M，P三点共线时|MP|+|PD|最小，答案可得．

解答解：要求△PMF周长的最小值，只要求|MP|+|PF|的最小值
设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|
∴要求|MP|+|PF|取得最小值，即求|MP|+|PD|取得最小，
当D，M，P三点共线时|MP|+|PD|最小，为3-（-1）=4，
∵|MF|=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴△PMF周长的最小值为4+2$\sqrt{2}$．
故答案为：4+2$\sqrt{2}$．

点评本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，P三点共线时|PM|+|PD|最小，是解题的关键．

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