题目内容
已知矩阵m=
，α=
，试计算：M10α．
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考点：矩阵与向量乘法的意义
专题：矩阵和变换
分析：先求出矩阵M的特征多项式，再根据对应的方程求出矩阵的特征值和特征向量，然后将向量α分解成两个特征向量的线性和，将矩阵与向量的积转化为矩阵与特征向量的积，从而转化为数乘问题，得到本题结论．
解答：
解：∵矩阵M=
，
∴矩阵M的特征多项式为：
f（λ）=
=λ2-λ+2．
令f（λ）=0，
得到：λ1=-1，λ2=2．
当λ1=-1时，对应的一个特征向量为
=
，
当λ2=2时，对应的一个特征向量为
=
，
∵
=
=3
-2
，
∴M10•
=M10•(3
-2
)
=3×（-1）10
-2×210
=
．
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∴矩阵M的特征多项式为：
f（λ）=
|
令f（λ）=0，
得到：λ1=-1，λ2=2．
当λ1=-1时，对应的一个特征向量为
| α1 |
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当λ2=2时，对应的一个特征向量为
| α2 |
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∵
| α |
|
| α1 |
| α2 |
∴M10•
| α |
| α1 |
| α2 |
=3×（-1）10
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=
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点评：本题考查了利用矩阵的特征值和特征向量求矩阵与向量的积，本题难度适中，属于中档题．
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