Question

已知F₁，F₂分别为双曲线C：

x2

9

-

y2

4

=1的左、右焦点，P，Q为C上的点，且满足条件：①线段PQ的长度是虚轴长的2倍；②线段PQ经过F₂，则△PQF₁的周长为

 

．若满足条件②，则△PQF₁的周长的最小值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的a，b，c，再由双曲线的定义和三角形的周长，即可得到满足条件①②的△PQF₁的周长，当当PQ垂直于x轴，则弦长PQ最短，求出它，即可得到满足条件②的△PQF₁的周长的最小值．

解答： 解：双曲线C：

x2

9

-

y2

4

=1的a=3，b=2，
则有PQ=4b=8，
则由双曲线的定义可得，
PF₁-PF₂=6，QF₁-QF₂=6，
则满足条件①②时，
△PQF₁的周长为PF₁+QF₁+PF₂+QF₂=（PF₁-PF₂）+（QF₁-QF₂）+2（PF₂+QF₂）
=6+6+2×8=28；
若只满足条件②，
则△PQF₁的周长为PF₁+QF₁+PF₂+QF₂=（PF₁-PF₂）+（QF₁-QF₂）+2（PF₂+QF₂）
=4a+2PQ=12+2PQ．
当PQ垂直于x轴，则弦长PQ最短，
令x=

13

则有y²=4×（

13

9

-1）=

16

9

，解得，y=±

4

3

．
则有PQ=

8

3

．
则有△PQF₁的周长的最小值为12+2×

8

3

=

52

3

．
故答案为：28，

52

3

．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．