题目内容
四个半径为1的球彼此相切，三个在水平面上，第四个在它们的上面．其中，给出一个边长为a的正四面体，使得任一球与该正四面体的三个面相切，求实数a的值．
考点：球的体积和表面积
专题：空间位置关系与距离
分析：四个球的球心是边长为2的正四面体的顶点，过点A的高交底面BCD于点G，则G为△ABC的重心．与球都外切的四面体的各面到球心四面体ABCD相应各面的距离都是1，仍然是一个正四面体，于是将△AEG扩展为该四面体中相应的△A1E1G1，进而求出相应四面体的棱长，可得答案．
解答：
解：四个球的球心是边长为2的正四面体的顶点，
设该四面体为ABCD．
过点A的高交底面BCD于点G，
则G为△ABC的重心．
取BC的中点E，画出平面图形△AEG，如图所示．
与球都外切的四面体的各面到球心四面体ABCD相应各面的距离都是1，仍然是一个正四面体，…（5分）
于是将△AEG扩展为该四面体中相应的△A1E1G1，只须分别作A1E1∥AE，E1G1∥EG，平行线间距均为1，即可得到△A1E1G1，通过△AEG求出△A1E1G1的边，
进而可求出a的值．…（5分）
事实上，易知AE=
AC=
，EG=
DE=
，AG=
=
，
=
，
所以AA1=
=3．
所以A1G1=A1A+AG+GG1=4+
．
又因为
=
=
，
得a=
=2+2
．…（15分）
解：四个球的球心是边长为2的正四面体的顶点，设该四面体为ABCD．
过点A的高交底面BCD于点G，
则G为△ABC的重心．
取BC的中点E，画出平面图形△AEG，如图所示．
与球都外切的四面体的各面到球心四面体ABCD相应各面的距离都是1，仍然是一个正四面体，…（5分）
于是将△AEG扩展为该四面体中相应的△A1E1G1，只须分别作A1E1∥AE，E1G1∥EG，平行线间距均为1，即可得到△A1E1G1，通过△AEG求出△A1E1G1的边，
进而可求出a的值．…（5分）
事实上，易知AE=
| ||
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| AE2-EG2 |
2
| ||
| 3 |
| AA1 |
| AE |
| 1 |
| EG |
所以AA1=
| AE |
| EG |
所以A1G1=A1A+AG+GG1=4+
| 2 |
| 3 |
| 6 |
又因为
| A1G1 |
| A1E1 |
| A1G1 | ||||
|
| AG |
| AE |
得a=
| A1G1•AE | ||||
|
| 6 |
点评：本题考查的知识点是球的几何特征，球与平面相切的几何特征，考查空间想像能力和计算能力，难度较大，属于难题．
练习册系列答案
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已知图甲为函数y=f（x）的图象，则图乙中的图象对应的函数可能为（ ）| A、y=|f（x）| |
| B、y=f（|x|） |
| C、y=f（-|x|） |
| D、y=-f（-|x|） |