Question

函数f（x）=

x+1 x2+4x+7

的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先求函数的定义域，再讨论x+1是否为零，从而分离常数及基本不等式法求值域．

解答： 解：函数f（x）=

x+1 x2+4x+7

的定义域为{x|x≥-1}；
则当x=-1时，f（-1）=0；
当x＞-1时，
f（x）=

x+1 x2+4x+7

=

x+1 (x+1)2+2(x+1)+4

=

1 x+1+ 4 x+1 +2

；
∵x+1+

4

x+1

≥4；
（当且仅当x=1时，等号成立）
∴

1 x+1+ 4 x+1 +2

≤

1 6

=

6

6

；
故函数f（x）=

x+1 x2+4x+7

的值域为[0，

6

6

]；
故答案为；[0，

6

6

]．

点评：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．