题目内容

已知函数f（x）=2cosx（sinx+
3
cosx）
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，
π
6
]，使得m[f（x）+
3
]+2=0恒成立，求实数m的取值范围．
考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+
π
3
）+
3
，易得值域和最小正周期；
（2）由x∈[0，
π
6
]可得sin（2x+
π
3
）∈[
3
2
，1]，进而可得f（x）-
3
=2sin（2x+
π
3
）∈[
3
，2]，由题意可得m的不等式组，解之可得．
解答： 解：（1）化简可得f（x）=2cosx（sinx+
3
cosx）
=2sinxcosx+2
3
cos2x=sin2x+
3
cos2x+
3

=2sin（2x+
π
3
）+
3

∵-1≤sin（2x+
π
3
）≤1．
∴f（x）的值域为[-2+
3
，2+
3
]，最小正周期为T=
2π
2
=π．
（2）当x∈[0，
π
6
]时，2x+
π
3
∈[
π
3
，
2π
3
]，
∴sin（2x+
π
3
）∈[
3
2
，1]
∴f（x）-
3
=2sin（2x+
π
3
）∈[
3
，2]．
由m[f（x）-
3
]+2=0知m≠0，∴f（x）-
3
=-
2
m
，即
3
≤-
2
m
≤2，
解得-
2
3
3
≤m≤-1．即实数m的取值范围是[-
2
3
3
，-1]
点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．
练习册系列答案
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1
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lim
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A、
3
2
B、
3
2
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C、0
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a
x
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A、1B、2C、3D、4
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a
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b
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a
∥
b
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A、3B、-3C、2D、-2
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m+b
2
，
n
2
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