Question

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为

n

x1+x2+…+xn

（n∈N^*），已知数列{a_n}前n项的“倒平均数”为

1

2n+4

．
（Ⅰ）记c_n=

an

n+1

（n∈N^*），试比较c_n与c_n+1的大小；
（Ⅱ）是否存在实数，使得当x≤λ时，f（x）=-x²+4x-

an

n+1

≤0对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁+a₂+…+a_n=2n²+4n，从而a_n=4n+2．由此得到c_n=

4n+2

n+1

=4-

2

n+1

，c_n＜c_n+1．
（2）假设存在实数，使得当x≤λ时，f（x）=-x²+4x-

an

n+1

≤0对任意n∈N^*恒成立，由此能求出存在最大的实数λ=1符合题意．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}前n项的“倒平均数”为

1

2n+4

，
∴

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+4

，
∴a₁+a₂+…+a_n=2n²+4n，①
a₁+a₂+…+a_n-1=2（n-1）²+4（n-1），②
①-②，得：a_n=4n+2．
∵c_n=

an

n+1

（n∈N^*），
∴c_n=

4n+2

n+1

=4-

2

n+1

，c_n+1=4-

2

n+2

，
∴c_n＜c_n+1．
（2）假设存在实数，使得当x≤λ时，
f（x）=-x²+4x-

an

n+1

≤0对任意n∈N^*恒成立，
则-x²+4x≤

an

n+1

对任意n∈N^*都成立，
-x²+4x≤(

an

n+1

)min=

a1

1+1

=3，
得x²-4x+3≥0，有x≤1或x≥3．
故存在最大的实数λ=1符合题意．

点评：本题考查数列的相邻两项大小的比较，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．