Question

已知二次函数f（x）=x²+x，函数F（x）=f（-x）+f（x）-2x．
（1）求函数F（x）的零点；
（2）设F（x）的两个零点为α、β，且α＜β，集合C={x|α≤x≤β}，若方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1）在集合C上有解，求实数a的取值范围；
（3）记函数f（x）在C上的值域为A，若函数g（x）=x²-tx+

t

2

，x∈[0，1]的值域为B，且A⊆B，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）化简F（x）=f（-x）+f（x）-2x=2x²-2x=2x（x-1），从而写出函数F（x）的零点；
（2）化简集合C，化方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1）在集合C上有解可化为t²+（1-a）t-5=0在[1，a]上有解；从而求解；
（3）化简集合A，讨论g（x）=x²-tx+

t

2

的单调性，从而求集合B，使A⊆B，从而求实数t的取值范围．

解答： 解：（1）F（x）=f（-x）+f（x）-2x
=2x²-2x=2x（x-1）；
故函数F（x）的零点为0，1；
（2）由（1）得，α=0，β=1；
C=[0，1]；
方程f（a^x）-a^x+1=5可化为
（a^x）²+a^x-a^x+1-5=0，
即（a^x）²+（1-a）a^x-5=0；
令t=a^x，
则方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1）在集合C上有解可化为
t²+（1-a）t-5=0在[1，a]上有解；
结合y=t²+（1-a）t-5的图象可得，
只需使a²+（1-a）a-5≥0，
即a≥5；
（3）由题意，A=[0，2]；
g（x）=x²-tx+

t

2

=（x-

t

2

）²+

t

2

-

t2

4

；
则

t

2

-

t2

4

≤0，
故t≥2或t≤0，
①若t≤0；
g（x）=x²-tx+

t

2

在[0，1]上是增函数，
故

t

2

≤0且1-t+

t

2

≥2，
解得，t≤-2；
②若t≥2；
则g（x）=x²-tx+

t

2

在[0，1]上是减函数；
故1-2t+

t

2

≤0且

t

2

≥2，
解得，t≥4；
故t≤-2或t≥4．

点评：本题考查了二次函数的性质应用，同时考查了集合，属于中档题．