Question

已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3-x）=f（x），且有最小值是

7

4

；已知g（x）=2x-m
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）-（2t-3）x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；
（Ⅲ）若f（x）恒在g（x）=2x-m的上方，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数解析式的求解及常用方法,二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）用待定系数法设出函数解析式，利用条件图象过点（0，4），f（3-x）=f（x），最小值得到三个方程，解方程组得到解析式；
（Ⅱ）分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到最小值；
（Ⅲ）将条件转化为恒成立问题，利用参变量分离，求出函数的最小值，得到m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）二次函数f（x）图象经过点（0，4），
任意x满足f（3-x）=f（x）
则对称轴x=

3

2

，
f（x）存在最小值

7

4

，则二次项系数a＞0，
设f（x）=a（x-

3

2

）²+

7

4

．
将点（0，4）代入得：
f（0）=

9a

4

+

7

4

=4，
解得：a=1，
∴f（x）=（x-

3

2

）²+

7

4

=x²-3x+4．
（Ⅱ）h（x）=f（x）-（2t-3）x
=x²-2tx+4=（x-t）²+4-t²，x∈[0，1]．
当对称轴x=t≤0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4；
当对称轴0＜x=t＜1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4-t²；
当对称轴x=t≥1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=1-2t+4=-2t+5．
综上所述：
当t≤0时，最小值4；当0＜t＜1时，最小值4-t²；当t≥1时，最小值-2t+5．
（Ⅲ）由已知：f（x）＞2x-m对于x∈R恒成立，
∴-m＜x²-5x+4对x∈R恒成立，
∵g（x）=x²-5x+4在x∈R上的最小值为

16-25

4

=-

9

4

，
∴-m＜-

9

4

．即有m＞

9

4

．

点评：本题考查了二次函数在区间上的最值、函数方程思想和分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题．