题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-4）2+（y-5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y-1）2=4．
（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；
（2）直线l2的方程是x=
5
2
，证明：直线l2上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的直线l3和l4，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l3被圆C1截得的弦长与直线l4被圆C2截得的弦长相等．
考点：直线与圆相交的性质,圆的切线方程
专题：综合题,直线与圆
分析：（1）分类讨论，设方程，利用直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，建立方程求出斜率，即可求出直线l1的方程；
（2）设P（
5
2
，n），l3：y-n=k（x-
5
2
）；l4：y-n=-
1
k
（x-
5
2
），即kx-y+n-
5
2
k=0，
1
k
x+y-n+
5
2k
=0，利用直线l3被圆C1截得的弦长与直线l4被圆C2截得的弦长相等，可得
|4k-5+n-
5
2
k|
k2+1
=
|-
3
k
+1-n+
5
2k
|
1
k2+1
，化简，得（-
1
2
-n）k=-
1
2
-n或（
21
2
-n）k=-
5
2
+n，利用关于k的方程有无穷多解，即可证明结论．
解答： 解：（1）若直线的斜率不存在，x=2符合题意；
直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0，
∵直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，
∴
|4k-5-2k|
k2+1
=2，
∴k=
21
20
，
∴直线的方程为21x-20y-42=0，
综上，直线的方程为x=2或21x-20y-42=0；
（2）由题意，设P（
5
2
，n），l3：y-n=k（x-
5
2
）；l4：y-n=-
1
k
（x-
5
2
），
即kx-y+n-
5
2
k=0，
1
k
x+y-n+
5
2k
=0，
∵直线l3被圆C1截得的弦长与直线l4被圆C2截得的弦长相等，
∴
|4k-5+n-
5
2
k|
k2+1
=
|-
3
k
+1-n+
5
2k
|
1
k2+1
，
化简，得（-
1
2
-n）k=-
1
2
-n或（
21
2
-n）k=-
5
2
+n，
∵关于k的方程有无穷多解，
∴n=-
1
2
，即直线l2上存在点P（
5
2
，-
1
2
），满足过P的无穷多对互相垂直的直线l3和l4，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l3被圆C1截得的弦长与直线l4被圆C2截得的弦长相等．
点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型．
练习册系列答案
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3
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n
x1+x2+…+xn
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1
2n+4
．
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an
n+1
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an
n+1
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服装件数x（件）3456789
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.
x
，
.
y
；
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1
3x+
3
．
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（2）由（1）的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明；
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常用的统计图表有
 
，常用的抽样方法有
 
．
化简：sin4θ-cos4θ=
 
．
已知圆心为O的圆内有一条弦BC，其长为2，动点为A，在圆上运动，且∠BAC=45°，若∠ABC为锐角，则
OA
•
BC
的取值范围是
 
．

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