Question

13．某工厂制造一批无盖长方体容器，已知每个容器的容积都是9立方米，底面都是一边长为2米，另一边长为x米的长方形，如果制造底面的材料费用为a元/平方米，制造侧面的材料费用为b元/平方米，其中0＜$\frac{b}{a}$＜1，设计时材料的厚度忽略不计．
（1）试将制造每个容器的成本y（单位：元）表示成底面边长x（单位：米）的函数；
（2）若要求底面边长x满足1≤x≤2（单位：米），则如何设计容器的尺寸，使其成本最低？

Answer 1

分析 （1）设长方体容器的高为h（h＞0），依据题意知2xh=9，所以h=$\frac{9}{2x}$，从而写出该容器成本y（单位：元）表示成底面边长x（单位：米）的函数；
（2）利用基本不等式，即可得到所求的最值和对应的x的值．

解答 解设长方体容器的高为h（h＞0），依据题意知2xh=9，所以h=$\frac{9}{2x}$，--------------------------------------------------（2分）
容器的侧面积为4h+2xh，容器第面积为2x，
所以y=2xa+b（4h+2xh）=2ax+$\frac{18b}{x}+9b$（x＞0）；-----------------------------------------------（6分）
说明：不写定义域x＞0扣（3分）
（2）令m=$\frac{b}{a}$∈（0，1），y=2a（x+$\frac{9m}{x}$），令f（x）=x+$\frac{9m}{x}$（x＞0），
则f$′（x）=1-\frac{9m}{{x}^{2}}$，当x$∈（0，3\sqrt{m}）$时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，3$\sqrt{m}）$上单调递减；
当x$∈（3\sqrt{m}，+∞）$时，f′（x）＞0，所以f（x）在（3$\sqrt{m}$，+∞）上单调递增．--------------------------------------------------（10分）
又1≤x≤2，当3$\sqrt{m}$＞2时，当x=2时，y取得最小值；
当3$\sqrt{m}$≤1时，当x=1时，y取得最小值；
当1$＜3\sqrt{m}＜2$时，当x=3$\sqrt{m}$时，y取的最小值．--------------------------------------------------（12分）
答：故当b$≥\frac{4a}{9}$时，当容器的底面边长为2米时，容器的成本最低；
当$\frac{a}{9}＜\\;b＜\frac{4a}{9}$b$＜\frac{4a}{9}$时，当容器的底面边长为3$\sqrt{\frac{b}{a}}$米时，容器的成本最低；
当b$≤\frac{a}{9}$时，当容器的底面边长为1米时，容器的成本最低．--------------------------------------------------（16分）

点评 本题考查了基本不等式在实际问题中的应用，考查数学建模思想的运用，属于中档题．