Question

5．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n+3n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=2a_n-1（n∈N⁺），可得n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1．n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁，利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=a_n+3n=2^n-1+3n，再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=2a_n-1（n∈N⁺），∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化为：a_n=2a_n-1．
n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，首项为1．
∴a_n=2^n-1．
（II）b_n=a_n+3n=2^n-1+3n，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+3×$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ-1+$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．