Question

4．已知焦点为F的抛物线C：y²=2px（p＞0））上有一点M（m，2$\sqrt{2}$），以M为圆心、|MF|为半径的圆被y轴截得的弦长为2$\sqrt{5}$．
（1）求|MF|；
（2）若倾斜角为$\frac{π}{4}$且经过点（2，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点，求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）利用以M为圆心、|MF|为半径的圆被y轴截得的弦长为2$\sqrt{5}$，结合M在抛物线上，求出m，p，即可求|MF|；
（2）直线l的方程为y=x-2，联立y²=2x得x²-6x+4=0，证明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0即可．

解答 解：（1）∵圆M被y轴截得的弦长为2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}+5}$=m+$\frac{p}{2}$①，…（2分）
又点M在抛物线上，∴8=2pm②，…（3分）
由①②得p=2，m=2，…（4分）
|MF|=m+$\frac{p}{2}$=3．…（5分）
（2）直线l的方程为y=x-2，联立y²=2x得x²-6x+4=0．…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=6，x₁x₂=4．…（10分）
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0．…（11分）
∴OA⊥OB．…（12分）

点评 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．