Question

假设某军工厂生产一种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元．若年产量为x（x∈N^*）件，当x≤20时，政府全年合计给予财政拨款额为（31x-x²）万元；当x＞20时，政府全年合计给予财政拨款额为（240+0.5x）万元．记该工厂生产这种产品全年净收入为y万元．
（1）求y（万元）与x（件）的函数关系式．
（2）该工厂的年产量为多少件时，全年净收入达到最大，并求最大值．
（友情提示：年净收入=政府年财政拨款额-年生产总投资）．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，将实际问题转化为数学问题，利用分段函数表示；
（2）利用分段函数求函数的最大值．

解答： 解：（1）当0＜x≤20时，y=（31x-x²）-x-100=-x²+30x-100；
当x＞20时，y=240+0.5x-100-x=140-0.5x．
故y=

-x2+30x-100，0＜x≤20 140-0.5x，x＞20

（x∈N）．
（2）当0＜x≤20时，y=-x²+30x-100=-（x-15）²+125；
故当x=15时，y取得最大值125；
当x＞20时，y=140-0.5x为减函数，
则当x=21时，y有最大值129.5；
故当x=21时，y有最大值129.5．
故该工厂的年产量为21件时，全年净收入达到最大，最大值为129.5万元．

点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及分段函数的处理方法，属于中档题．