Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n+1=4a_n，数列{b_n}满足（

1

2

） bn=a_n²．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据当n=1时S₁=a₁，当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，化简得到a_n=2a_n-1，由等比数列的定义和通项公式求出
a_n，再利用指数的运算性质求出b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意求出c_n，利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，2S_n+1=4a_n，
当n=1时，2S₁+1=4a₁，解得a₁=

1

2

，
当n≥2时，2S_n+1=4a_n，
2S_n-1+1=4a_n-1，两式相减得，
2a_n=4a_n-4a_n-1，得a_n=2a_n-1，即

an

an-1

=2，
所以数列{a_n}是以

1

2

为首项、2为公比的等比数列，
则a_n=

1

2

•2n-1=2^n-2，
因为（

1

2

） bn=a_n²，所以2-bn=22n-4，
则b_n=-2n+4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c_n=

bn

an

=

-2n+4

2n-2

，
所以T_n=

2

2-1

+

0

20

+

-2

21

+…+

-2n+6

2n-3

+

-2n+4

2n-2

   ①，

1

2

T_n=

2

20

+

0

21

+

-2

22

+…+

-2n+6

2n-2

+

-2n+4

2n-1

       ②，
①-②得，

1

2

T_n=4-2[

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-2

]-

-2n+4

2n-1

=4-2×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

-2n+4

2n-1

=

4

2n-1

-

-2n+4

2n-1

=

2n

2n-1

=

n

2n-2

，
所以T_n=

n

2n-3

．

点评：本题考查数列a_n与S_n的关系式，等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及错位相减法求出数列的前n项和，考查指数的运算性质，化简计算能力．