Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁BC的中点．
（1）证明：平面AEB⊥平面B₁CF；
（2）设P为线段BE上一点，且EP=2PB，求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先，证明AB⊥平面BB₁C₁C，然后，得到结论；
（2）可以取B₁C₁的中点H，连结EH，从而得EH⊥平面BB₁C₁C，最后，结合体积公式求解．

解答： （1）在△ABC中，∵AC=2，BC=4，∠ACB=60°，
∴AB=2

3

，∴AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC．…（3分）
由已知AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．…（5分）
又∵AB?平面ABE，
故平面ABE⊥平面BB₁C₁C，
即平面AEB⊥平面B₁CF．                        …（7分）
（2）取B₁C₁的中点H，连结EH，
则EH∥AB且EH=

1

2

AB=

3

，
由（1）AB⊥平面BB₁C₁C，
∴EH⊥平面BB₁C₁C，…（10分）
∵EP=2PB，
∴V_P-B1C1F=

1

3

V_E-B1C1F=

1

3

×

1

3

S_△B1C1F•EH=

2 3

9

．…（14分）

点评：本题重点考查了空间中平面和平垂直的判定定理、空间几何体的体积计算等知识，属于中档题．