Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，且AB=AC=AA₁=1．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出A₁C⊥AC₁，从而得到AB⊥平面AA₁C₁C，由此能证明A₁C⊥平面ABC₁．
（Ⅱ）以A为原点，AC，AB，AA₁所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC₁-B₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵AC=AA₁，且在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中有AC⊥AA₁，
∴A₁C⊥AC₁，
∵AB⊥AC，且在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有AB⊥AA₁，AA₁∩AC=A，
∴AB⊥平面AA₁C₁C，
又A₁C?平面AA₁C₁C，∴A₁C⊥AB，
又AC₁∩AB=A，∴A₁C⊥平面ABC₁．
（Ⅱ）解：以A为原点，AC，AB，AA₁所在的直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），A₁（0，0，1），B₁（0，1，1）C₁（1，0，1），C（1，0，0），
由（Ⅰ）知A₁C⊥平面ABC₁，
∴平面ABC₁的一个法向量为

A1C

=（1，0，-1），
设平面AB₁C₁的法向量

n

=(x，y，z)，
∵

AC1

=(1，0，1)，

AB1

=(0，1，1)，
∴

n • AC1 =x+z=0 n • AB1 =y+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，-1），
∴cos＜

A1C

，

n

＞=

1+0+1

2 • 3

=

6

3

．
∴二面角B-AC₁-B₁的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．