Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$（n∈N^*），b_n=$\frac{a_n}{2n+1}$，则数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 先根据数列的递推公式求出数列{a_n}的通项公式，即可得到数列{b_n}的通项公式，裂项求和即可．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=$\frac{a_n}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了裂项求和和数列的递推公式，考查了学生的运算能力，属于中档题