Question

9．如图，直角梯形ABCD与等边△ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=AD=2，F为线段EA上的点，且EA=3EF．
（I）求证：EC∥平面FBD
（Ⅱ）求多面体EFBCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC、BD交于点O，连接FO，可得AC=3OC，又EA=3EF，得FO∥EC
即可证得EC∥平面FBD
（Ⅱ）多面体EFBCD的体积V=V_E-ABCD-V_F-ABD=$\frac{1}{3}×（\frac{1+2}{2}×\sqrt{3}）×\sqrt{3}-\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}）$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$

解答 解：（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，连接FO，
在梯形ABCD中，有△DOC与△BOA相似，可得OA=2OC，AC=3OC，
又EA=3EF，∴FO∥EC
又FO?面FBD，EC?面FBD
平面ACE∩平面FBD=FM．
∴EC∥平面FBD；
（Ⅱ）多面体EFBCD的体积V=V_E-ABCD-V_F-ABD
=$\frac{1}{3}×（\frac{1+2}{2}×\sqrt{3}）×\sqrt{3}-\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}）$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$．

 

点评 本题考查线面平行的判定，考查了棱锥的体积计算，考查了学生的识图能力与计算能力．属于中档题．