Question

4．已知函数f（x）=x³+ax²+1（a∈R）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）通过讨论a的范围，结合函数的单调性得到[1，2]⊆[0，-$\frac{2}{3}$a]，求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax=x（3x+2a）（a＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-$\frac{2}{3}$a，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{2}{3}$a＜x＜0，
故f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$a）递增，在（-$\frac{2}{3}$a，0）递减，在（0，+∞）递增，
故f（x）_极大值=f（-$\frac{2}{3}$a）=-$\frac{8}{27}$a³+a•$\frac{4}{9}$a²+1=$\frac{4}{12}$a³+1，
f（x）_极小值=f（0）=1．
（2）由（1）a≥0时，f（x）在[1，2]递减，不合题意，
a＜0时，f（x）在（-∞，0）递增，在（0，-$\frac{2}{3}$a）递减，在（-$\frac{2}{3}$a，+∞）递增，
若f（x）在[1，2]递减，则[1，2]⊆[0，-$\frac{2}{3}$a]，
故-$\frac{2}{3}$a≥2，解得：a≤-3，
故a的范围是（-∞，-3]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．