Question

19．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{2}$，抛物线y²=2px（p＞0）的准线与双曲线C的渐近线交于A，B点，△OAB（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（　　）

• A． y²=4x
• B． y²=6x
• C． y²=8x
• D． y²=16x

Answer 1

分析 由双曲线的离心率，可得a=b，求得渐近线方程和抛物线的准线方程，联立解得A，B，再由三角形的面积公式，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{2}$，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得a=b，
渐近线方程为y=±x，
抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
求得A（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{p}{2}$），B（-$\frac{p}{2}$，$\frac{p}{2}$），
△OAB（O为坐标原点）的面积为4，
可得$\frac{1}{2}$•$\frac{p}{2}$•p=4，解得p=4，
即有抛物线的方程为y²=8x．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查抛物线的方程和性质，以及运算能力，属于中档题．