Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，且PA=AD．若E为PC中点，F为线段PD上的点，且PF=2FD．
（1）求证：BE∥平面ACF；
（2）求PC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）连结BD交AC于O，取PF中点G，连结OF，BG，EG，利用EO，EG分别为BG，FC的中位线，得到它们对应平行，进而得到平面BEG与平面ACF平行，再由面面平行的性质得到线面平行．
（2）要求线面角，需要先找到线面角的代表角，即过C点做面PAD的垂线，因为PA垂直于底面，所以过C作线段AD的垂线与AD交于H，则CH垂直于面PAD，所以角CPH即为线面角的代表角，要求该角的正弦值，就需要求出PC与CH，可以利用△PAC和△ACH为直角三角形通过勾股定理求出，进而得到线面角的正弦值．

解答： （1）证明：连结BD交AC于点O，
取PF的中点G，连结OF，BG，EG，
∵O，F分别是DB，DG的中点，∴OF∥BG，
∵E，G分别是PC，PF的中点，∴EG∥CF，
∴平面BEG∥平面ACF，
又∵BE?平面BEG，
∴BE∥平面ACF． 
（2）∵BC=2AB，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°．
过C作AD的垂线，垂足为H，则CH⊥AD，CH⊥PA，
∴CH⊥平面PAD．
∴∠CPH为PC与平面PAD所成的角．
设AB=1，则BC=2，AC=

3

，PC=

7

，CH=

3

2

，
∴sin∠CPH=

CH

PC

=

21

14

，即为所求．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．