Question

直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C₁：

x=3+cost y=4+sint

（t为参数）和曲线C₂：ρ=1上，当|AB|长取得最小值时，求线段AB的垂直平分线的极坐标方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：由题意，曲线C₁和曲线C₂都表示半径为1的圆，由平面几何知识，可得|AB|的最小值为两圆的圆心距再减去两个圆的半径；当|AB|长取得最小值时，线段AB的垂直平分线是过C₁C₂的中点（1.5，2），与C₁C₂垂直的直线，斜率为-

3

4

，可得结论．

解答： 解：曲线C₁：

x=3+cost y=4+sint

（t为参数）化成普通方程：（x-3）²+（y-4）²=1
∴曲线C₁表示以点M（3，4）为圆心，半径为1的圆；
∵曲线C₂：ρ=1表示以原点为圆心，半径为1的圆
∴曲线C₁上点A和曲线C₂上点B的最短距离为两个圆的圆心距减去两圆的半径，
即|AB|_min=3；
当|AB|长取得最小值时，线段AB的垂直平分线是过C₁C₂的中点（1.5，2），与C₁C₂垂直的直线，斜率为-

3

4

，
∴方程为y-2=-

3

4

（x-1.5），直线极坐标方程为：6ρcosθ+8ρsinθ+25=0

点评：本题以参数方程和极坐标方程为例，求分别在两个圆上的两个动点间距离的最小值，着重考查了圆与圆的位置关系的知识，属于中档题．