Question

已知函数f（x）=x³+3x²+ax+a
（1）若f（x）在区间（1，2）上单调，求实数a的取值范围；
（2）求证：函数f（x）图象的对称中心是（-1，2）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求导，f（x）在区间（1，2）上单调可化为在（1，2）上“f′（x）≥0恒成立”或“f′（x）≤0恒成立”，从而求解．
（2）在y=f（x）的图象上任取点（x₀，y₀），其关于（-1，2）的对称点为（x，y）；证明（x，y）也在y=f（x）的图象上即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+6x+a=3（x+1）²+a-3，
若f（x）在区间（1，2）上单调，
则在（1，2）上“f′（x）≥0恒成立”或“f′（x）≤0恒成立”，
∴f′（1）=9+a≥0或f′（2）=24+a≤0，
即a≤-24或a≥-9．
（2）证明：在y=f（x）的图象上任取点（x₀，y₀），其关于（-1，2）的对称点为（x，y）；
则

x+x0 2 =-1 y+y0 2 =2

，即

x0=-2-x y0=4-y

；
则4-y=（-2-x）³+3（-2-x）²+a（-2-x）+a，
整理可得，y=x³+3x²+ax+a，
∴y=f（x）的图象关于（-1，2）对称的曲线方程仍为y=f（x），
即函数f（x）图象的对称中心是（-1，2）．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了图象的对称性，属于中档题．