Question

复数z是方程z²+2z+2=0的解，若Imz＞0，且

a

z

-

.

z

=b+bi（a，b∈R⁺），则

1

a

+

1

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：复数相等的充要条件,基本不等式,复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：由题意，复数z是方程z²+2z+2=0的解，且 Imz＞0，由此方程解出符合条件的z，再代入

a

z

-

.

z

=b+bi，由复数相等的条件求得a，b的关系，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：方程z²+2z+2=0的解z=-1±i，
∵Imz＞0，
∴z=-1+i，
将z=-1+i代入

a

z

-

.

z

=b+bi，得

a

-1+i

+1+i=b+bi，
∴

a(-1-i)

(-1+i)(-1-i)

+1+i=b+bi，
(-

a

2

+1)+(-

a

2

+1)i=b+bi，
∴-

a

2

+1=b，

a

2

+b=1．
则

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（

a

2

+b）=

1

2

+1+

b

a

+

a

2b

≥

3

2

+2

b a • a 2b

=

3

2

+

2

．
当且仅当

a 2 +b=1 b a = a 2b

，即a=2

2

-2，b=2-

2

时上式等号成立．
故答案为：

3

2

+

2

．

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．