Question

16．已知a，b∈R，且e^x+1≥ax+b对?x∈R恒成立（其中e为自然对数的底数），则ab的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}{e^3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}{e^3}$
• D． e³

Answer 1

分析 当a=0时，此时ab=0； 当a＞0时，由题结合（1）得ab≤2a²-a²lna，设（a）=2a²-a²lna（a＞0），问题转化为求g（a）的最大值，利用导函数即可

解答 解：设f（x）=e^x+1-ax
当a=0时，此时ab=0； 
当a＞0时，e^x+1≥ax+b对?x∈R恒成立，得b≤f_min（x），
∵f_min（x）=f（-1+lna）=2a-alna，
∴b≤2a-alna，
∴ab≤2a²-a²lna，
设g（a）=2a²-a²lna（a＞0），
∴g′（a）=4a-（2alna+a）=3a-2alna，
由于a＞0，令g′（a）=0，得lna=$\frac{3}{2}$，从而a=${e}^{\frac{3}{2}}$，
当a∈（0，${e}^{\frac{3}{2}}$）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；
当a∈（${e}^{\frac{3}{2}}$，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减．
∴g_max（a）=$\frac{{e}^{3}}{2}$，即a=${e}^{\frac{3}{2}}$，b=$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{3}{2}}$时，ab的最大值为$\frac{{e}^{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性及最值，利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．