Question

7．如图，某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
（1）若围墙AP、AQ总长度为200米，如何可使得三角形地块APQ面积最大？
（2）已知竹篱笆长为$50\sqrt{3}$米，AP段围墙高1米，AQ段围墙高2米，造价均为每平方米100元，求围墙总造价的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设AP=x（米），则AQ=200-x，得${S_{△APQ}}=\frac{1}{2}x（{200-x}）sin{120^0}≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（{\frac{200}{2}}）^2}=2500\sqrt{3}$（米²）即可
（2）由正弦定理$\frac{AP}{sin∠AQP}=\frac{AQ}{sin∠APQ}=\frac{PQ}{sin∠A}$，得AP=100sin∠AQP，AQ=100sin∠APQ故围墙总造价$y=100（{AP+2AQ}）=10000（{sin∠AQP+2sin∠APQ}）=10000\sqrt{3}cos∠AQP$，由$0＜∠AQP＜\frac{π}{3}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜\sqrt{3}cos∠AQP＜\sqrt{3}$，得y∈$（{5000\sqrt{3}，10000\sqrt{3}}）$．

解答 解：（1）设AP=x（米），则AQ=200-x，
所以${S_{△APQ}}=\frac{1}{2}x（{200-x}）sin{120^0}≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（{\frac{200}{2}}）^2}=2500\sqrt{3}$（米²）
当且仅当x=200-x时，取等号．
即AP=AQ=100（米），${S_{max}}=2500\sqrt{3}$（米²）．…（6分）
（2）由正弦定理$\frac{AP}{sin∠AQP}=\frac{AQ}{sin∠APQ}=\frac{PQ}{sin∠A}$，得AP=100sin∠AQP，AQ=100sin∠APQ
故围墙总造价$y=100（{AP+2AQ}）=10000（{sin∠AQP+2sin∠APQ}）=10000\sqrt{3}cos∠AQP$
因为AP≥AQ，所以$0＜∠AQP＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜\sqrt{3}cos∠AQP＜\sqrt{3}$，
所以y∈$（{5000\sqrt{3}，10000\sqrt{3}}）$．
答：围墙总造价的取值范围为$（{5000\sqrt{3}，10000\sqrt{3}}）$（元）．…（14分）

点评 本题考查了解三角形在实际问题中的应用，基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．