Question

4．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b=acosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinA，
（1）求角A的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得：$sinB=sinAcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$，即 $sin（A+C）=sinAcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$，化简得：$tanA=\sqrt{3}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA⇒4=b²+c²-bc≥2bc-bc，即bc≤4，故$S=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．

解答 解：（1）在三角形ABC中，因为$b=acosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}csinA$，
由正弦定理得：$sinB=sinAcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$，即 $sin（A+C）=sinAcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$
化简得：$cosAsinC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$
因为sinC≠0，所以$tanA=\sqrt{3}$
因为A∈（0，π），所以A=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）因为a=2，$A=\frac{π}{3}$，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA⇒4=b²+c²-bc≥2bc-bc，
即bc≤4，当且仅当b=c时取等号．
故$S=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$，
所以，当三角形为等边三角形时，三角形的面积有最大值为$\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查了正余弦定理、三角形面积计算、不等式的性质，属于中档题．