Question

6．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-a_n=2n+1，则数列的通项a_n=n²．

Answer 1

分析 在数列递推式中依次取n=1，2，…，n-1，累加后利用等差数列的求和公式得答案．

解答 解：由a_n+1-a_n=2n+1，得
a₂-a₁=2×1+1，
a₃-a₂=2×2+1，
a₄-a₃=2×3+1，
…
a_n-a_n-1=2（n-1）+1（n≥2）．
累加得：a_n-a₁=2（1+2+…+n-1）+n-1=2×$\frac{n（n-1）}{2}$+n-1=n²-1，
a_n=n²．
又a₁=1，
验证n=1时上式成立．
∴a_n=n²．．
故答案为：n²．

点评 本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．