Question

已知f（x）是三次项系数为

a

3

的三次函数，且不等式f′（x）-9x＞0的解集为（1，2）
（1）若方程f′（x）+7a=0有两个相等的实根，求a的值
（2）若函数g（x）=f（x）+ax在[1，3]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）设f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d，由f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x＞0的解集为（1，2），得f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x=a（x-1）（x-2），从而得f′（x）=a（x-1）（x-2）+9x=ax²+（9-3a）x+2a，进而得f'（x）+7a=0，由方程有两相等实根得△=0，可求a值；
（2）g（x）=f（x）+ax在[1，3]上单调递增，等价于g'（x）≥0在[1，3]上恒成立，即f′（x）+a=ax²+（9-3a）x+3a≥0在[1，3]上恒成立，分离参数a后化为求函数的最值即可，利用基本不等式可求最值；

解答： 解：设f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d，∴f'（x）=ax²+2bx+c，
∵f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x＞0的解集为（1，2），
∴f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x=a（x-1）（x-2），即f′（x）=a（x-1）（x-2）+9x=ax²+（9-3a）x+2a，
（1）∵f'（x）+7a=ax²+（9-3a）x+9a=0有两相等实数根，
∴△=（9-3a）²-36a²=0，解得a=-3或a=1．
（2）∵g（x）=f（x）+ax在[1，3]上单调递增，
∴g'（x）≥0在[1，3]上恒成立，即f′（x）+a=ax²+（9-3a）x+3a≥0在[1，3]上恒成立，
∴a≥

-9x

x2-3x+3

在[1，3]上恒成立，

-9x

x2-3x+3

=

-9

x+ 3 x -3

，且x∈[1，3]时，2

3

≤x+

3

x

≤4，
∴

-9

x+ 3 x -3

≤

-9

4-3

=-9，
∴a≥-9．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、方程的根等知识，考查函数与方程思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．