Question

关于x的方程x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实根x=b．
（1）求实数a，b的值．
（2）若复数z₁=

2

1+i

，复数z满足|z-a-bi|=|z₁|，求复数z的模|z|的最小值．

Answer 1

考点：复数相等的充要条件,复数的代数表示法及其几何意义,复数求模

专题：计算题,数系的扩充和复数

分析：（1）将x=b代入方程，得到（b²-6b+9）+（a-b）i=0，由复数相等可得方程组；
（2）设复数z=x+yi（x，y∈R），由|z-a-bi|=|z₁|可知，复数z对应的点在以（3，3）为圆心，

2

为半径的圆上，|z|表示圆上的点到原点的距离，从而可求；

解答： 解：（1）将x=b代入方程，得到（b²-6b+9）+（a-b）i=0，
∴有

b2-6b+9=0 a-b=0

⇒

b=3 a=3

；
（2）设复数z=x+yi（x，y∈R），|z1|=|

2

1+i

|=

2

，
则：|z-a-bi|=|z1|⇒

(x-3)2+(y-3)2

=

2

⇒(x-3)2+(y-3)2=2，
∴复数z对应的点在以（3，3）为圆心，

2

为半径的圆上，|z|表示圆上的点到原点的距离，
∴|z|min=3

2

-

2

=2

2

，
∴|z|的最小值为2

2

．

点评：该题考查复数相等的充要条件、复数代数形式的运算及其几何意义，属基础题．