Question

已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（

12

5

，

16

5

），点P在线段CD垂直平分线上，求：
（1）线段CD垂直平分线方程；
（2）|PA|²+|PB|²取得最小值时P点的坐标．

Answer 1

考点：两点间的距离公式,二次函数的性质,直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：（1）由中点坐标公式求出CD的中点坐标，由两点求斜率得到CD所在直线的斜率，得到垂直平分线的斜率，由点斜式得直线方程；
（2）设出P点的坐标，直接由两点间的距离公式列式，利用二次函数求最值，并得到对应的P点的坐标．

解答： 解：（1）由C（4，0），D（

12

5

，

16

5

），
得线段CD的中点M(

16

5

，

8

5

)，kCD=

16 5 -0

12 5 -4

=-2，
∴线段CD的垂直平分线的斜率为

1

2

，
∴线段CD垂直平分线方程为：y-

8

5

=

1

2

(x-

16

5

)，即x-2y=0；
（2）设P（2t，t），
则）|PA|²+|PB|²=（2t-1）²+（t-1）²+（2t-2）²+（t-2）²=10t²-18t+10．
当t=

9

10

时，|PA|²+|PB|²取得最小值，即P(

9

5

，

9

10

)．

点评：本题考查了两点间的距离公式，考查了直线方程的求法，训练了利用二次函数求最值，是中低档题．