Question

如果函数f（x）=log_ax的图象过点P（

1

2

，1），则

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

 

．

Answer 1

考点：极限及其运算,对数的运算性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由对数函数的性质求出a=

1

2

，再由等比数列前n项和公式求出a+a²+…+aⁿ=1-（

1

2

）ⁿ，由此能求出

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）的值．

解答： 解：∵函数f（x）=log_ax的图象过点P（

1

2

，1），
∴loga 

1

2

=1，解得a=

1

2

，
∴a+a²+…+aⁿ
=

1

2

+(

1

2

)2 +…+(

1

2

)n
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-（

1

2

）ⁿ，
∴

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）
=

lim

n→∞

[1-(

1

2

)n]
=1．
故答案为：1．

点评：本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和等比数列的知识点的合理运用．