Question

袋中装有大小和形状相同的小球若干个黑球和白球，且黑球和白球的个数比为4：3，从中任取2个球都是白球的概率为

1

7

现不放回从袋中摸取球，每次摸一球，直到取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．
（1）求袋中原有白球、黑球的个数；
（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,组合及组合数公式

专题：概率与统计

分析：（1）依题意设袋中原有3n个白球，则有4n个黑球．由题意知

1

7

=

C 2 3n

C 2 7n

，由此能求出袋中原有白球、黑球的个数．
（2）依题意，ξ的取值是1，2，3，4，5．分别求出相对应的概率，由此能求随机变量ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）依题意设袋中原有3n个白球，则有4n个黑球．
由题意知

1

7

=

C 2 3n

C 2 7n

=

3n(3n-1) 2

7n(7n-1) 2

=

3(3n-1)

7(7n-1)

，（4分）
即7n-1=9n-3，解得n=1，
即袋中原有3个白球和4个黑球．（5分）
（2）依题意，ξ的取值是1，2，3，4，5．
ξ=1，即第1次取到白球，P（ξ=1）=

3

7

，
ξ=2，即第2次取到白球P（ξ=2）=

4

7

×

3

6

=

2

7

，
同理可得，P（ξ=3）=

4

7

×

3

6

×

3

5

=

6

35

，
P（ξ=4）=

4

7

×

3

6

×

2

5

×

3

4

=

3

35

，
P（ξ=5）=

4

7

×

3

6

×

2

5

×

1

4

×

3

3

=

1

35

，（10分）
ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4	5
P	3 7	2 7	6 35	3 35	1 35

Eξ=1×

3

7

+2×

2

7

+3×

6

35

+4×

3

35

+5×

1

35

=2．…（12分）

点评：本题考查概率的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．