Question

14．已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n=n+2（n∈N^*）且a₁=1
（1）求a₂，a₃，a₄的值
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由数列的通项公式，当n=1，n=2，n=3时，分别求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）a_n+1-a_n=n+2（n∈N^*），采用“累加法”即可求得{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）由a_n+1-a_n=n+2（n∈N^*），由a_n+1=a_n+n+2，a₁=1，
a₂=a₁+1+2=4，
a₃=a₂+2+2=8，
a₄=a₃+3+2=13，
a₂=4，a₃=8，a₄=13；
（2）a_n+1-a_n=n+2（n∈N^*），
a₂-a₁=1+2，
a₃-a₂=2+2，
a₄-a₃=3+2，
…
a_n-a_n-1=n-1+2；
以上各式相加可得：a_n-a₁=1+2+3+…+n-1+2（n-1），
∴a_n=1+$\frac{n（n-1）}{2}$+2（n-1），
=$\frac{{n}^{2}+3n-2}{2}$，
∴{a_n}的通项公式a_n=$\frac{{n}^{2}+3n-2}{2}$．

点评 本题考查数列的递推公式，考查“累加法”求数列的通项公式及等差数列通项公式，属于中档题．