Question

19．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AC，BC，BD，DA的中点，若$AB=12\sqrt{2}$，$CD=4\sqrt{2}$，且四边形EFGH的面积为$12\sqrt{3}$，则AB和CD所成的角为60°．

Answer 1

分析 推导出四边形EFGH是平行四边形，设AB与CD所成角为θ，则sin∠HEF=sinθ，从而S_{平行四边形EFGH}=HE•EF•sinθ=12$\sqrt{3}$，由此能求出AB和CD所成的角．

解答 解：∵在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AC，BC，BD，DA的中点，
$AB=12\sqrt{2}$，$CD=4\sqrt{2}$，
∴HG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，∴HG$\underset{∥}{=}$EF，且HG=EF=6$\sqrt{2}$，
HE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，GF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，∴HE$\underset{∥}{=}$GF，且HE=GF=2$\sqrt{2}$，
∴四边形EFGH是平行四边形，
设AB与CD所成角为θ，则sin∠HEF=sinθ，
∵四边形EFGH的面积为$12\sqrt{3}$，
∴S_{平行四边形EFGH}=HE•EF•sinθ=2$\sqrt{2}$×$6\sqrt{2}×sinθ$=12$\sqrt{3}$，
解得sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0°≤θ≤90°，∴θ=60°．
∴AB和CD所成的角为60°．
故答案为：60°．

点评 本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．