Question

4．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为$2\sqrt{2}$，离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求弦长|PQ|．

Answer 1

分析 （1）由题意设出椭圆方程，结合已知及隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）求出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求得P，Q的横坐标的和与积，再由弦长公式得答案．

解答 解：（1）由已知，椭圆方程可设为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$．
∵长轴长为$2\sqrt{2}$，离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
即$2a=2\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$a=\sqrt{2}，b=c=1$．
∴所求椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）∵直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，∴直线l的方程为y=x-1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由 $\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=x-1\end{array}\right.$，消y 得：3x²-4x=0，
由韦达定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{4}{3}，{x_1}•{x_2}=0$．
∴|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}×\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}-0}=\sqrt{2}×\frac{4}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查弦长公式的应用，是中档题．