Question

2．已知抛物线y²=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点M为抛物线的准线与x轴的交点，且直线l：x-y-2=0与抛物线C相交于A，B两点，求三角形ABM的面积．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的定义可知2+$\frac{p}{2}$=3，求得p=2，求得抛物线C的方程；
（2）由题意求得M坐标，将直线代入抛物线方程，由韦达定理求得x₁+x₂=8，x₁•x₂=4，由弦长公式及点到直线的公式公式求得丨AB丨和d，根据三角形的面积公式即可求得△ABM的面积．

解答 解：（1）由抛物线的定义可知：得2+$\frac{p}{2}$=3，解得p=2，
∴抛物线C方程为：y²=4x；
（2）∵点M为抛物线的准线与x轴的交点，
∴M点坐标为（-1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入抛物线方程：$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：x²-8x+4=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=8，x₁•x₂=4，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{6}$，
M到直线的距离d=$\frac{丨-1-2丨}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
△ABM的面积S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•4$\sqrt{6}$•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=6$\sqrt{3}$．
△ABM的面积S=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式，韦达定理与弦长公式和三角形面积公式的综合应用，属于中档题．