Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}3x-19\;\;\;（x≤0）\\{e^x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;（x＞0）\end{array}\right.$，若函数y=f（x）与y=kx恰有两个不同的交点时，则实数k的取值范围（　　）

• A． （1，e）
• B． [1，3]
• C． （3，+∞）
• D． （e，3]

Answer 1

分析 直线y=kx绕原点旋转时，与曲线y=e^x相切，和y=3x-1平行的情况，设出切点，列出方程，求出切线的斜率，然后观察即可得到k的取值范围．

解答 解：直线y=kx绕原点旋转时，与曲线y=e^x相切，和y=3x-19平行的情况，
令切点为（m，n），则n=e^m，e^m=k，n=km，
解得m=1，n=e，k=e，
当k＞3时，有三个交点，
当e＜k≤3时，有两个交点．
故方程f（x）-kx=0恰有两个不同的实根时，
则实数k的取值范围是（e，3]．
故选：D．

点评 本题考查分段函数的图象及运用，考查方程的根的个数转化为函数的图象交点个数，考查数形结合的能力，属于中档题．