Question

已知圆O：x²+y²=4，若焦点在x轴上的椭圆过点P（0，-1），且其长轴长等于圆O的直径，过点P作两条互相垂直的直线l₁与l₂，l₁与⊙O交于A，B两点，l₂交椭圆于另一点C．
（1）设直线l₁的斜率为k，求弦AB的长；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,直线与圆相交的性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；由题意可知：直线l₁的斜率存在，设为k，则直线l₁的方程为y=kx+1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l₁的距离和弦长|AB|；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．根据l₂⊥l₁，可得直线l₂的方程为x+ky-k=0，与椭圆的方程联立即可得到点C的横坐标，即可得出|PC|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．

解答： 解：（1）由题意，a=2，b=1，∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；由题意可知：直线l₁的斜率存在，设为k，则直线l₁的方程为y=kx-1．
又圆O：x²+y²=4的圆心O（0，0）到直线l₁的距离d=

1

1+k2

．
∴|AB|=2

4-d2

=2

4k2+3 1+k2

．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）．
∵l₂⊥l₁，∴直线l₂的方程为x+ky+k=0，与椭圆方程联立联立，
消去y得到（4+k²）x²+8kx=0，解得x₀=-

8k

4+k2

，
∴|PC|=

8 k2+1

4+k2

．
∴三角形ABC的面积S_△=

1

2

|AB|•|PD|=

8 4k2+3

4+k2

=

32

4k2+3 + 13 4k2+3

≤

32

2 13

=

16 13

13

，
当且仅当k=±

10

2

时取等号，
故所求直线l₁的方程为y=±

10

2

x-1，此时△ABC面积的最大值为

16 13

13

．

点评：本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系的综合应用，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力