Question

15．过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F作斜率为$\frac{4}{3}$的直线l与C及其准线分别相交于A、B、D三点，则$\frac{|AD|}{|BD|}$的值为（　　）

• A． 2或$\frac{1}{2}$
• B． 3或$\frac{1}{3}$
• C． 1
• D． 4或$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 设抛物线方程，代入椭圆方程，设$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，根据向量数量积的坐标运算，即可求得λ的值，分类讨论，根据抛物线的定义及相似性，即可求得丨BD丨及丨AD丨，即可求得$\frac{|AD|}{|BD|}$的值．

解答 解：抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），过A和B分别做准线的垂线，垂足分别为A′，B′，
则直线AB的方程：y=$\frac{4}{3}$（x-$\frac{p}{2}$）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：y²-$\frac{3}{2}$py-p²=0，
则y₁+y₂=$\frac{3}{2}$p，y₁y₂=-p²，
设$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，（$\frac{p}{2}$-x₁，-y₁）=（x₂-$\frac{p}{2}$，y₂），则-y₁=λy₂，由$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$+2=-$\frac{9}{4}$，
∴-λ-$\frac{1}{λ}$+2=-$\frac{9}{4}$，整理得：λ²-17λ+4=0，解得：λ=4或λ=$\frac{1}{4}$，
当λ=4时，丨AF丨=4丨BF丨，则丨AB丨=5丨BF丨，
由抛物线的定义可知：丨BF丨=丨BB′丨，
由直线AB的斜率为$\frac{4}{3}$，则sin∠∠BDB′=$\frac{3}{5}$，即sin∠BDB′=$\frac{丨BB′丨}{丨BD丨}$=$\frac{4}{3}$，
∴丨BD丨=$\frac{5}{3}$丨BB′丨=$\frac{5}{3}$丨BF丨，丨AD丨=丨AB丨+丨BD丨=$\frac{20}{3}$，
∴$\frac{|AD|}{|BD|}$的值4，

当λ=$\frac{1}{4}$，4丨AF丨=丨BF丨，则丨AB丨=5丨AF丨，
由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AB′丨，
由直线AB的斜率为$\frac{4}{3}$，则sin∠∠ADF′=$\frac{3}{5}$，即sin∠ADF′=$\frac{丨AA′丨}{丨AD丨}$=$\frac{4}{3}$，
∴丨AD丨=$\frac{5}{3}$丨AB′丨=$\frac{5}{3}$丨AF丨，丨BD丨=丨AB丨+丨AD丨=$\frac{20}{3}$，
∴$\frac{|AD|}{|BD|}$的值$\frac{1}{4}$，

故选D．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．