Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=1，点M是棱PC的中点．
（1）求证：PB⊥面AMD；
（2）求三棱锥C-AMD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取PB中点N，连接AN，证明PB⊥平面MNAD，即可证明PB⊥面AMD；
（2）利用等体积转换，即可求三棱锥C-AMD的体积．

解答： （1）证明：取PB中点N，连接AN，则
∵点M是棱PC的中点，
∴MN∥BC，
∵AD∥BC，
∴MN∥AD，
∴四边形MNAD是梯形．
∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，N是PB中点，
∴PB⊥AN，
∵AD⊥AB，AD⊥PA，PA∩AB=A，
∴AD⊥PB，
∵AD∩AN=A，
∴PB⊥平面MNAD，
∴PB⊥面AMD；
（2）解：∵S_△ACD=

1

2

×1×1=

1

2

，M到平面ACD的距离为

1

2

，
∴三棱锥C-AMD的体积=V_M-ACD=

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

12

．

点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥C-AMD的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．