Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：平面CFB₁⊥平面EFB₁；
（Ⅱ）若求三棱锥B₁-EFC的体积为1，求此正方体的棱长．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF⊥平面BB₁D₁D，再由线面垂直的性质证明CF⊥B₁E即可；
（Ⅱ）由题意，CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B₁EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．

解答： （Ⅰ）证明：E、F分别为D₁D，DB的中点，
则CF⊥BD，又CF⊥D₁D
∴CF⊥平面BB₁D₁D，…（3分）
∵CF?平面CFB₁，∴平面CFB₁⊥平面EFB₁；　…（6分）
（Ⅱ）解：∵CF⊥平面BB₁D₁D，∴CF⊥平面EFB₁，CF=BF=

2

2

a，
∵EF=

1

2

BD1=

3

2

a，B1F=

BB12+BF2

=

6

2

a，B1E=

B1D12+ED12

=

3

2

a
∴EF²+B₁F²=B₁E²，即∠EFB₁=90°，…（9分）
∴VB1-EFC=VC-B1EF=

1

3

×S△B1EF×CF=

1

3

×

2

2

a×

1

2

×

6

2

a×

3

2

a=

1

8

a3，
由VB1-EFC=1解得a=2…（12分）

点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理及锥体的体积的求法，考查了空间感知能力及判断推理的能力，解题的关键是熟练掌握相关的定理及公式．