Question

12．若f（x）=e^x+ae^-x为偶函数，则f（x-1）＜e+e^-1的解集为（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，2）
• C． （0，2）
• D． （-∞，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质求出a的值，判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．

解答 解：∵f（x）=e^x+ae^-x为偶函数，
∴f（-x）=f（x），即e^-x+ae^x=e^x+ae^-x，则a=1，
即f（x）=e^x+e^-x，
由f（x-1）＜e+e^-1，得f（x-1）＜f（1），
即f（|x-1|）＜f（1），
又当x≥0时，f′（x）=e^x-e^-x=e^x+e^-x＞0，
即函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，
则|x-1|＜1，即-1＜x-1＜1，解得0＜x＜2，
所以不等式的解集为（0，2），
故选C．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件求出a的值，判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．